\[3.14^{3.14}\]

基本方針としてはまず

\[f(x)=x^{3.14}\]
という関数を作って

\[x^{3.14} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + \dotsb\]
という感じに冪級数に展開して x=3.14 を代入すれば f(3.14)=3.14^3.14 になるはず。Let's start!

...早くも頓挫。冪級数に展開できない！（失敗)


この近似は手計算では無理なのか?失敗の原因を考えよう。

いつもの手順で展開すると
\begin{align*} f'(x) &= 3.14x^{2.14} = a_{1}+ 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2} +4a_{4}x^{3} +\dotsb \\ f''(x) &= 3.14\times2.14x^{1.14} = 2\times1a_{2} + 3\times2a_{3}x +4\times3a_{4}x^{2} + \dotsb \\ f'''(x) &= 3.14\times2.14\times1.14x^{0.14}= 3\times2\times1a_{3} + 4\times3\times2a_{4}x + \dotsb \end{align*} これより
\begin{align*} a_{0} &= f(0) =0 \\ a_{1} &= f'(0) =0 \\ a_{2} &= f''(0)/2! =0 \\ a_{3} &= f'''(0)/3! =0 \end{align*} このf(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0 が失敗の原因だ。というわけで他の方法を考える。

...f(1) = 1, f'(1) = 3.14, f''(1) = 3.14× 2.14, f'''(1) = 3.14× 2.14× 1.14 ではないか？

つまり
\[x^{3.14} = b_{0}+b_{1}(x－1)+ b_{2}(x－1)^{2} +b_{3}(x－1)^{3} +b_{4}(x－1)^{4} +\dotsb\] の形に展開すると
\begin{align*} b_{0} &= f(1) =1 \\ b_{1} &= f'(1) =3.14 \\ b_{2} &= f''(1)/2! =3.14\times\frac{2.14}{2!} \\ b_{3} &= f'''(1)/3! =3.14\times2.14\times\frac{1.14}{3!} \end{align*} 係数を求めることが出来た!しかし

\[3.14^{3.14}=1 + 3.14\times(3.14－1) + 3.14\times2.14\times\frac{(3.14－1)^{2}}{2!} + 3.14\times2.14\times1.14\times\frac{(3.14－1)^{3}}{3!} + \dotsb\] となり +... の部分がなかなか収束しない。失敗

では筆算で根号を外すより \[3.14\approx1.722^{2}\] だから
\begin{align*} 3.14^{3.14} &\approx(1.722^{2})^{3.14} \\ &= (1.722^{3.14})^{2} \end{align*}
とすれば良いのでは？よって回答は以下。

---

\(x^{3.14} = 1 + 3.14(x－1)+3.14\times2.14\frac{(x－1)^{2}}{2!} +3.14\times2.14\times1.14\frac{(x－1)^3}{3!} + \dotsb\) より

（回答終わり)


ここで正しい値を調べると

\[3.14^{3.14} = 36.337838\dotsb\]

絶対誤差は0.2くらい。ただし相対誤差として以下を計算。
\begin{align*} \left| \frac{36.132121-36.337838}{36.337838} \right| \approx 0.00566 \end{align*}
絶対誤差だけを見るとまあまあの結果だが、相対誤差を見るとそれなりに良い結果だと思う。（完)

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