特殊化、一般化（Specialization, Generalization） 例題１

特殊化、一般化（Specialization, Generalization）... 具体的に考えることと、広く抽象的に考えることを学びます。 （例題） （１）正５角形の一つの内角の角度は何度でしょうか。 （２） \(n\) を３以上の整数とします。正 \(n\) 角形の一つの内角の角度は何度でしょうか。 （３） （２）の答えの式から、正１００００角形の一つの内角の角度は何度か求めてください。 （考え方）

（１）を考えるために、まず図形を描いてみます。今回の主題ではありませんが、図形問題は「きちんと図を描いて適切な補助線を引いて考える」ことが解決の糸口となりやすいです。この例題では、正５角形の重心Ｇをとってそこから各頂点へ線分を引いて解くことにします。線分を引くことで、正５角形の中に合同な二等辺三角形が５個できます。
そのうち一つの二等辺三角形を取り出し、その頂角を \(\alpha_{5}\)とすると \begin{align*} \alpha_{5} = 360^\circ \div 5 = 72^\circ \end{align*} であるから \begin{align*} \text{（一つの内角の角度）} &= \text{（水色の丸二つ分の角度）} \\ &= 180^\circ - \alpha_{5} \\ &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ \end{align*} よって（１）の答えは \(108\) 度となります。

（１）では正５角形を考えましたが、同様に正６角形や正７角形、また正３角形や正４角形（正方形）の一つの内角の角度も考えることが出来そうです。そこで、（２）ではより一般化して正 \(n\) 角形を考えてみましょう。 正 \(n\) 角形を考えるので、（１）のように全体像を図示することは出来ません。しかし、同じ解き方が出来そうです。 そこで、正 \(n\) 角形の重心Ｇから各頂点へ線分を引き、 \(n\) 個の合同な二等辺三角形を作ります。
そのうち一つの二等辺三角形を取り出し、その頂角を \(\alpha_{n}\)とすると \begin{align*} \alpha_{n} = 360^\circ \div n = \frac{360^\circ}{n} \end{align*} であるから \begin{align*} \text{（一つの内角の角度）} &= \text{（水色の丸二つ分の角度）} \\ &= 180^\circ - \alpha_{n} \\ &= 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} \\ (&= \Bigl(1 - \frac{2}{n} \Bigr) \times 180^\circ ) \end{align*} よって（２）の答えは \( \bigl(180 - \frac{360}{n} \bigr) \) 度となります。

（３）は（２）で得られた「一般化された式」に \(n=10000\) を代入して特殊化することで答えを出します。 \begin{align*} \text{（一つの内角の角度）} &= 180^\circ - \frac{360^\circ}{10000} \\ &= 180^\circ - 0.036^\circ \\ &= 179.964^\circ \end{align*} よって（３）の答えは \(179.964\) 度となります。 ※もしも（２）で \(n\) 角形の内角の和が \begin{align*} (n-2) \times 180^\circ \end{align*} で表されることを知っている方は \begin{align*} \text{（一つの内角の角度）} &= ((n-2) \times 180^\circ) \div n \\ &= \Bigl(1 - \frac{2}{n} \Bigr) \times 180^\circ \end{align*} という解き方でも正解です。

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