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帰納的思考（Inductive thinking） ... 個々の事象や現象のような「具体的な例」から、広くどんな事象や現象にも当てはまる「一般論」を予想します。『類推（Analogy）』で書いた事と重複しますが、「予想したものはあくまで予想に過ぎない」ということに注意しましょう。 （例題） \(1\) 以上の整数を \(2\) 乗した数は、 \(3\) で割りきれるかもしくは \(3\) で割ると余りが \(1\) になるかのいずれかであることを証明してください。 （考え方） そもそもよほど奇特な方でない限り、「\(1\) 以上の整数を \(2\) 乗した数は、 ...である」という主張をいきなり聞かされてピンとくる人はいません。 なので、本当にそうなのか具体例を出して検証してみます。 【 \(1\)で考えてみる】 \begin{equation*} 1^{2}=1 \\ 1 \div 3 = 0 \text{余り} 1 \end{equation*} なるほど、 \(1\) 余りました。でもこれだけでは心もとないので、もっと具体例を出してみます。 【 \(2\)で考えてみる】 \begin{equation*} 2^{2}=4 \\ 4 \div 3 = 1 \text{余り} 1 \end{equation*} これも \(1\) 余りました。 【 \(3\)で考えてみる】 \begin{equation*} 3^{2}=9 \\ 9 \div 3 = 3 \end{equation*} これは\(3\)で割りきれました。 【 \(4\)で考えてみる】 \begin{equation*} 4^{2}=16 \\ 16 \div 3 = 5 \text{余り} 1 \end{equation*} これは \(1\) 余りました。 どうやら「\(1\) 以上の整数を \(2\) 乗した数は、 ...である」という主張は正しいようにみえます。しかしこれは \(1,2,3,4\)という具体例に対して正しかっただけであって、 \(512\) とか \(1067\) などはやってみないとわかりません。ただし、具体例の結果から、以下の二つのことが考察できます。 一、元の整数が\(3\)の倍数であれば、それを\(2\)乗した数も\(3\)で割りきれる 二、元の整数が\(3\)の倍数でなければ、それを\(2\)乗した数は\(3\)で割りきれず\(1\)余る 一と二の考察から、「整数を \(3\) の倍数かそうでないかに分類（場合分け）して解いてみる」という一つの方針を打ち出し、回答を試みます。 \(m\) を正の整数とすると、 \(1\) 以上の整数 \(n\) は \(3m\) 、 \(3m-1\) 、 \(3m-2\) のどれかの形で表すことが出来ることを利用して
今回の例題は、はじめから抽象的な「一般論」が与えられ、その正しさを証明する問題でした。\(1,2,3,4,...\)という具体例にあてはめ、そこから考察をし（『帰納的思考』）、その考察から回答の方針を打ち立て、それが解決に結びつきました。今回は「整数を \(3\) の倍数かそうでないかに分類（場合分け）して解いてみる」という一つの方針がたまたま上手くいきましたが、もしそれでうまくいかなかったら他の方針を考えてみます。問題に対して辛抱強く立ち向かうことを身につけていきましょう。 |